分科測驗
108年
數學乙
第 3 題
若向量 $\vec{A} = (a_1, a_2)$，向量 $\vec{B} = (b_1, b_2)$，且內積 $\vec{A} \cdot \vec{B} = 1$，則矩陣乘積 $\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \ a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \end{bmatrix}$ 等於下列哪一個選項？
- 1 $[1 \quad 1]$
- 2 $[2 \quad 2]$
- 3 $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$
- 4 $\begin{bmatrix} 2 \ 2 \end{bmatrix}$
- 5 $\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
請思考矩陣乘法的運算定義：當你將一個 $2 \times 2$ 矩陣與一個 $2 \times 1$ 矩陣相乘時，所得結果的維度（幾列幾行）應該為何？此外，試著將乘法運算展開，觀察其各個分量與已知條件 $\vec{A} \cdot \vec{B} = a_1 b_1 + a_2 b_2 = 1$ 在代數結構上有什麼樣的對應關係？
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AI 詳解
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嗯，做得不錯。既然答對了，就用這個獎勵你吧——「能變出美麗花田的魔法」。雖然在戰鬥中沒什麼用，但看著這些花，心情應該會變平靜。哪怕只是人類壽命中的一瞬間，這份努力也值得留下色彩。 這道題目考驗的是矩陣乘法與向量內積的基礎定義。題目給出的內積條件是： $$\vec{A} \cdot \vec{B} = a_1 b_1 + a_2 b_2 = 1$$
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內積與矩陣乘法
💡 理解向量內積與矩陣乘法「橫列乘直行」的連結性。
- 向量內積與矩陣「列乘行」的運算邏輯相同。
- 運算結果維度由左列數與右行數決定（2x2乘2x1得2x1）。
- 內積結果為單一數值，需代入矩陣運算後的對應位置。
