初等考試
108年
[統計] 統計學大意
第 12 題
令 $X_1, X_2,\cdots, X_n$ 為一組隨機樣本取自具有機率質量函數（probability mass function）$f(x; p) = (1-p)^{x-1}p$, $x = 1,2,3,\cdots$，之幾何分配。下列何者為 p 的最大概似估計量？
- A $\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i}$
- B $1 - \frac{1}{\sum_{i=1}^n X_i}$
- C $\frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}$
- D $\frac{n}{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}$
思路引導 VIP
若我們暫時撇開複雜的微積分運算，請思考：幾何分配通常描述『直到成功為止所需的次數』。如果我們已知該分配的母體期望值 $E[X]$ 與參數 $p$ 互為倒數關係，那麼在『樣本應能代表母體』的邏輯下，你會如何利用樣本平均數來估計這個參數？
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- 觀念驗證： 最大概似估計法（MLE）的核心在於尋找能使觀測樣本出現機率最大化的參數值。針對此幾何分配，其概似函數為 $L(p) = p^n(1-p)^{\sum X_i - n}$。取對數後求導數：
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