地特三等申論題
108年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
以下是關於無母數統計以及母體平均與比率的問題。
以下是關於無母數統計以及母體平均與比率的問題。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
對以下來自可能非常態分配母體且樣本數少的隨機樣本
14 18 23 25 32 48 11
當使用威爾考森符號等級檢定法（Wilcoxon signed rank test）來檢定母體中位數 M 是否為 20，即檢定 H0：M=20 對 H1：M≠20，請算出分別對應正負符號的兩檢定統計量。（5 分）
思路引導 VIP
看到威爾考森符號等級檢定（Wilcoxon signed rank test），應立即聯想到計算樣本與假設中位數的差值 D_i。接著對差值絕對值 |D_i| 進行排序並賦予等級（Rank），最後依據原差值的正負號將等級分組加總，求出 W^+ 與 W^-，並可利用 W^+ + W^- = n(n+1)/2 進行驗算。
小題 (二)
某收視率調查公司對某電視節目收視率 p 進行調查，該公司做出兩份利用隨機抽樣所得之收視率報告，其中一份樣本數為 400，而另一份樣本數為 1600，且兩份報告所得之估計收視率相同且都不超過 30%，其中估計收視率即樣本中收看此節目觀眾數占樣本數之比率，也就是樣本比率（sample proportion）。而兩份報告關於收視率 p 的兩個 95%信賴區間，其中較長的信賴區間比另一信賴區間長度長 0.0294。試求這兩份報告所得之估計收視率以及收視率 p 的兩個 95%信賴區間。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗大樣本下母體比率的信賴區間長度公式。解題關鍵在於列出兩個信賴區間的長度表達式，利用兩者之差建立一元二次方程式求解樣本比率 p̂，最後務必利用「不超過 30%」的條件剔除不合理解。
小題 (三)
市售某品牌防彈咖啡號稱喝一個月後有減重效果。若 µ2 是喝此防彈咖啡一個月後消費者之平均體重，而 µ1 是這些消費者喝之前之平均體重，從這些防彈咖啡的消費者，隨機得到以下 6 組成對樣本（paired samples or matched samples）資料
$(x_1, y_1)=(63, 61), (x_2, y_2)=(69, 67), (x_3, y_3)=(59, 60), (x_4, y_4)=(57, 58), (x_5, y_5)=(76, 70), (x_6, y_6)=(63, 59)$
其中 $x_i$ 為第 i 個消費者喝此防彈咖啡前所測之體重，而 $y_i$ 為這個消費者喝了此防彈咖啡一個月後所測之體重，i=1,...,6。在顯著水準 α=0.05 下，請利用成對樣本t檢定法（paired samples t test or matched samples t test）決定是否有足夠證據顯示此防彈咖啡有該公司宣稱的減重效果，即檢定 H0：μ1≤μ2 對 H1：μ1>μ2。（10 分）
思路引導 VIP
看到「成對樣本」及「飲用前後測量同一批消費者」，應立即聯想計算配對「差值（$d_i = x_i - y_i$）」。解題關鍵在於假設差值服從常態分配的前提下，計算出差值平均數與樣本變異數，進而代入 t 統計量公式，並與自由度為 n-1 的臨界值比對進行右尾檢定。
📜 參考法條
附表：t分配臨界值表