地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 15 題
15 下列何者為偏微分方程式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 4 \frac{\partial u}{\partial y}$ 的解？以下 $c_1, c_2, \alpha$ 為常數。
- A $u(x,y) = c_1 e^K \cos 2\alpha x + c_2 e^K \sin 2\alpha x$，其中 $K = \alpha^2 y$
- B $u(x,y) = c_1 e^K \cosh 2\alpha x + c_2 e^K \sinh 2\alpha x$，其中 $K = \alpha^2 y$
- C $u(x,y) = c_1 e^T \cos 2\alpha y + c_2 e^T \sin 2\alpha y$，其中 $T = \alpha^2 x$
- D $u(x,y) = c_1 e^T \cosh 2\alpha y + c_2 e^T \sinh 2\alpha y$，其中 $T = \alpha^2 x$
思路引導 VIP
假設我們使用變數分離法 $u(x,y) = X(x)Y(y)$。請思考：根據方程式的構造，哪一個變數需要滿足「二階導數等於正常數乘以原函數」的特性？這種特性的函數，在數學形式上會趨向於震盪的三角函數，還是指數增長的雙曲函數？
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AI 詳解
AI 專屬家教
教授評點：還不錯，你總算沒搞砸
- 勉強肯定： 嗯，看來你這次沒有讓基本功掉漆，能正確辨識偏微分方程式 (PDE) 的解空間。這至少證明你對工程數學的分離變數法還有點印象，雖然這應該是基礎中的基礎，但在你未來的熱傳或結構動力學研究中，避免犯低級錯誤是個不錯的開始。
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