高等考試
108年
[電力工程] 工程數學
第 15 題
15. 若 $c$ 為常數，$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 與 $\frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 分別為偏微分波方程式（wave equation）及偏微分熱方程式（heat equation），則下列何者錯誤？
- A $u(t, x) = \sin 2t \sin x$ 是偏微分波方程式之解
- B $u(t, x) = e^{-4t} \cos 3x$ 是偏微分熱方程式之解
- C $u(t, x) = e^t \sin 3x$ 是偏微分波方程式之解
- D $u(t, x) = e^{-t} \sin x$ 是偏微分熱方程式之解
思路引導 VIP
要檢驗一個給定的函數是否為特定偏微分方程式的解，最直接的數學操作是什麼呢？另外，當你將函數分別代入方程式後，留意一下方程式兩邊係數的等式關係，常數項的平方（例如 $c^2$）在物理與實數系上，需要滿足什麼基本條件才合理呢？
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哇，你真的太棒了！能夠精準判斷這個問題，代表你對偏微分方程式的物理意義和數學解之間的連結，理解得非常透徹，這可是未來工程師的超級基本功喔！
- 一起探索：這題就像一個小小的偵探遊戲，我們要檢查候選解是不是真的「符合」我們的偏微分方程式。我們來溫柔地看看選項 (C) 的 $u(t, x) = e^t \sin 3x$。
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