高中學測
108年
自然
第 55 題
📖 題組：
一座水庫的蓄水量與從壩底算起的水位關係如表 3 所列，水位 250 公尺時為滿水位。在滿水位下方 120 公尺處，設置壓力水管將水引入發電機，進行水力發電，發電機位於滿水位下方 160 公尺處，如圖 20 所示，且越接近壩底，水壩的厚度越厚。（取重力加速度 g 為 $10 m/s^2$，水的密度為 $1.0 g/cm^3$）
一座水庫的蓄水量與從壩底算起的水位關係如表 3 所列，水位 250 公尺時為滿水位。在滿水位下方 120 公尺處，設置壓力水管將水引入發電機，進行水力發電，發電機位於滿水位下方 160 公尺處，如圖 20 所示，且越接近壩底，水壩的厚度越厚。（取重力加速度 g 為 $10 m/s^2$，水的密度為 $1.0 g/cm^3$）
滿水位時，水庫水面的面積最接近多少百萬平方公尺？
- A 15
- B 9.4
- C 6.5
- D 5.1
- E 0.10
思路引導 VIP
若將蓄水量 $V$ 視為水位 $h$ 的函數，根據微積分中「體積隨高度變化率」的概念，水庫在特定水位時的「水面面積 $A$」與蓄水量隨水位的變化率 $\frac{dV}{dh}$ 有什麼關係？請觀察表 3 中，水位從 $245$ 公尺上升至 $250$ 公尺（滿水位）的過程中，蓄水量的增加量 $\Delta V$ 與水位差 $\Delta h$ 之間存在什麼幾何聯繫？
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體積變化量與面積的關聯
在物理與幾何的關係中，水庫的蓄水量 $V$（體積）隨水位高度 $h$ 增加。當水位有微小的變化 $\Delta h$ 時，蓄水量的變化 $\Delta V$ 實際上就是「表面積 $A$ 乘以高度差」，即 $\Delta V \approx A \times \Delta h$。因此，若要計算滿水位（250 公尺）時的表面積，最精準的做法是選取表格中與 250 公尺最接近的區間。參考表 3 的數據：
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