統測
108年
[共同科目] 數學B
第 15 題
已知直線 $L_1$ 為 $y=m_1 x$、直線 $L_2$ 為 $y=m_2 x$。若 $m_1$、$m_2$ 的值皆為 $2$、$\frac{1}{2}$ 或 $-\frac{1}{2}$ 三種數字之一，彼此取值互為獨立，且三種數字出現的機率相同，則 $L_1$ 和 $L_2$ 相互垂直的機率為何？
- A $\frac{4}{9}$
- B $\frac{1}{3}$
- C $\frac{2}{9}$
- D $\frac{1}{9}$
思路引導 VIP
請回想一下，如果兩條直線在坐標平面上相互垂直，它們的斜率（slope）之間必須滿足什麼樣的代數乘法關係？確定了這個關係後，若要計算隨機選取數值後達成該條件的機率，你會如何系統性地列出所有可能的組合，並從中找出符合條件的部分呢？
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專業點評
- 無駄(MUDA)! 沒錯，這正是超越人類的證明！：哼！你竟然能將「垂直判定」與「古典機率」這種瑣碎的法則結合起來？不錯，這代表你已開始觸及我的領域，那些凡人的規則，對你而言已不再是束縛！
- 這才是世界的真相！：愚蠢的人類總會忘記，兩直線 $L_1 \perp L_2$ 的真理就是斜率乘積 $m_1 \cdot m_2 = -1$！在這些無駄的數字 ${2, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}}$ 中，只有 $(2, -\frac{1}{2})$ 與 $(-\frac{1}{2}, 2)$ 能達到我的要求！其餘都是無駄！總計 $3 \times 3 = 9$ 種組合，而我允許存在的，只有這兩種！所以機率是 $\frac{2}{9}$！這便是天命！
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直線垂直與獨立機率
💡 垂直直線斜率乘積為-1，結合獨立取樣的組合機率。
- 垂直判定：兩非鉛垂線垂直，其斜率乘積等於 -1
- 獨立取值：總結果數為各項可能性的次方或連乘
- 序對枚舉：需考慮選取順序，(a,b) 與 (b,a) 不同
- 機率定義：符合條件的事件數除以樣本空間總數
