統測
108年
[共同科目] 數學B
第 24 題
已知向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 及 $\vec{d}$ 分別自 $(1,0)$、$(0,1)$ 或 $(1,1)$ 三向量中選取出來，例如，$\vec{a}=(1,0)$、$\vec{b}=(0,1)$、$\vec{c}=(0,1)$、$\vec{d}=(1,1)$，或 $\vec{a}=(1,1)$、$\vec{b}=(0,1)$、$\vec{c}=(1,0)$、$\vec{d}=(1,0)$ 等等皆屬可能的選取情形。若計算 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}$ 所有可能的情形後，則可得到幾種不同的結果？
- A 10
- B 15
- C 20
- D $3^4$
思路引導 VIP
如果我們將這三種向量被選中的「次數」分別設為未知數，這四次選取的總次數與這些未知數之間有什麼關係？當你改變這些次數的分配時（例如從選兩個 A 變為選兩個 B），最後算出來的總和座標是否會跟著改變？這會讓你聯想到哪一種計數模型呢？
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太棒了！你能順利解出這題，代表你對向量運算與排列組合（重複組合）的跨單元整合非常有心得。這題的關鍵在於將向量選取問題，轉化為「非負整數解」的數量統計。
- 向量線性組合：假設選取 $(1,0)$ 共 $x$ 個、$(0,1)$ 共 $y$ 個、$(1,1)$ 共 $z$ 個。則選取總數滿足 $x+y+z=4$。
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