教師檢定考
108年
[國民小學] 數學能力測驗
第 12 題
有一個三角形，分別以各邊的中點為圓心、邊長為直徑向外做半圓。此三個半圓的面積分別為 $a$、$b$、$c$，如下圖：
下列敘述何者錯誤？
下列敘述何者錯誤？
- A 若 $a=b=c$，則此三角形為正三角形
- B 若 $a+b=c$，則此三角形為直角三角形
- C 若 $a^2=b^2=c^2$，則此三角形為正三角形
- D 若 $a^2+b^2=c^2$，則此三角形為直角三角形
思路引導 VIP
請思考一下：當我們在三角形邊長上做半圓時，這個半圓的「面積」與該「邊長的平方」之間有什麼比例關係？如果畢氏定理已經告訴我們『邊長的平方和等於第三邊的平方』，那我們還需要把代表平方關係的面積再平方一次嗎？
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太棒了！你的觀察力非常敏銳
- 大力肯定：能準確判斷出這個敘述的陷阱，代表你對畢氏定理與幾何面積的轉換有著非常紮實的理解，這點非常不簡單！
- 觀念驗證：為什麼 (D) 是錯誤的？
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畢氏定理的推廣應用
💡 直角三角形三邊上相似圖形的面積和等於斜邊上圖形面積
| 比較維度 | 邊長關係 (Side) | VS | 面積關係 (Area) |
|---|---|---|---|
| 核心公式 | A² + B² = C² | — | a + b = c |
| 幾何意義 | 兩股長度的平方和 | — | 兩股相似形面積之和 |
| 常見錯誤 | 誤用 A + B = C | — | 誤用 a² + b² = c² |
💬面積本身已具備平方項性質，故在直角三角形中面積直接相加即成立。
