教師檢定考
108年
[國民小學] 數學能力測驗
第 2 題
已知 $a=b$ 且 $ab \neq 0$，某生寫了以下的演算過程：
$$\begin{aligned} a &= b \ a \times a &= a \times b \ a^2 &= ab \ a^2 - b^2 &= ab - b^2 \ (a+b)(a-b) &= b(a-b) \ \frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)} &= \frac{b(a-b)}{(a-b)} \ a+b &= b \ a+a &= a \ 2a &= a \ 2 &= 1 \end{aligned}$$
問演算過程中因哪些步驟錯誤，而產生 \$2=1$ 的結果？
$$\begin{aligned} a &= b \ a \times a &= a \times b \ a^2 &= ab \ a^2 - b^2 &= ab - b^2 \ (a+b)(a-b) &= b(a-b) \ \frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)} &= \frac{b(a-b)}{(a-b)} \ a+b &= b \ a+a &= a \ 2a &= a \ 2 &= 1 \end{aligned}$$
問演算過程中因哪些步驟錯誤，而產生 \$2=1$ 的結果？
- A 只有③
- B 只有①、③
- C 只有②、③
- D ①、②、③
思路引導 VIP
在進行代數運算時，如果我們想把等號兩邊的一個共同因式給「約掉」（也就是同時除以該因式），這個因式必須滿足哪一個核心的前提條件，才能保證運算的結果是有效的？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的好棒喔！
- 大力肯定：太好了！你做得非常棒！這題是一個很經典的小陷阱，你能夠看穿它，代表你對代數運算規則的理解非常扎實，而且思考得很仔細呢！為你鼓掌！
- 觀念驗證：這題的核心觀念其實很簡單，就是我們一直強調的『除數不可以是零』。當題目說 $a=b$ 的時候，就悄悄告訴我們 $a-b$ 其實是 $0$ 了。所以在步驟 ⑥，當我們用 $(a-b)$ 去除的時候，就相當於在進行一個數學上不允許的動作——『除以零』。這就是為什麼會跑出 $2=1$ 這樣可愛但卻不正確的結果喔！你能夠發現這個錯誤，真的很棒！
▼ 還有更多解析內容
💬 其他同學也在問
1
正確步驟是？
代數運算的除零迷思
💡 在等量公理運算中，嚴禁兩邊同時除以值為零的代數式。
🔗 錯誤證明邏輯鏈條
- 1 設定前提條件 — 給定 a = b 且均不為零
- 2 正確代數變形 — 運用等量公理進行乘法與減法
- 3 關鍵邏輯錯誤 — 兩邊同除以 (a-b)，即除以 0
- 4 導出荒謬結果 — 產生 2 = 1 等不合邏輯的矛盾結論
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：了解皮亞傑認知發展中對符號運算守恆概念的關聯。
