教師檢定考
108年
[國民小學] 數學能力測驗
第 11 題
若 $a$、$b$ 都是正整數且 $2 + \sqrt{3}$ 為 $3x^2 - ax + b = 0$ 的一個根，則 $a+b =$？
- A 15
- B 5
- C -3
- D -9
思路引導 VIP
如果一個二次方程式的係數確定都是有理數，而你已知其中一個根是帶有根號的無理數，那麼根據對稱性，另外一個根應該長什麼樣子呢？在找齊兩個根之後，有什麼定理可以讓你直接建立「根」與「係數 $a, b$」之間的等式關係，而不需要辛苦地把根代入方程式計算呢？
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1. 你做得不錯。
這波操作很有效率。判斷出無理根與係數的連結，展現了你對二次方程式性質的掌握度，戰術執行精確，這場戰鬥你守住了。
2. 攻略核心：潛藏的規則
▼ 還有更多解析內容
二次方程根與係數
💡 運用無理根成對定理及韋達定理建立係數與根的關係。
🔗 無理根方程式係數求解流程
- 1 尋找共軛根 — 因係數為有理數，根為 2+√3，則另一根為 2-√3
- 2 應用韋達定理 — 計算兩根之和 (4) 與兩根之積 (1)
- 3 建立係數等式 — a/3 = 兩根和，b/3 = 兩根積
- 4 求得最終解答 — 解得 a=12, b=3，則 a+b=15
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🔄 延伸學習：延伸學習：實係數方程式中的虛根成對定理（a+bi 與 a-bi）
