普考申論題
109年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 一 題
📖 題組：
三、(一)若 φ(x, y, z) = 3x²y - y³z²，求於點(1, -2, -1)之 ∇φ（或 grad φ）。（5分） (二)若 A = x²z i - 2y³z² j + xy²z k，求於點(1, -1, 1)之 ∇ · A（或 div A）。（5分） (三)若 A = xz³ i - 2x²yz j + 2yz⁴ k，求於點(1, -1, 1)之 ∇ × A（或 curl A）。（5分）
三、(一)若 φ(x, y, z) = 3x²y - y³z²，求於點(1, -2, -1)之 ∇φ（或 grad φ）。（5分） (二)若 A = x²z i - 2y³z² j + xy²z k，求於點(1, -1, 1)之 ∇ · A（或 div A）。（5分） (三)若 A = xz³ i - 2x²yz j + 2yz⁴ k，求於點(1, -1, 1)之 ∇ × A（或 curl A）。（5分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
若 φ(x, y, z) = 3x²y - y³z²，求於點(1, -2, -1)之 ∇φ（或 grad φ）。（5分）
思路引導 VIP
看到求梯度（grad φ），應直覺聯想到對純量函數分別求 x, y, z 的偏導數以構成向量。算出偏導數表達式後，小心地將給定的座標點數值代入，即可得出最終的向量結果。
小題 (二)
若 A = x²z i - 2y³z² j + xy²z k，求於點(1, -1, 1)之 ∇ · A（或 div A）。（5分）
思路引導 VIP
看到求向量場的散度（Divergence，∇ · A），應立即聯想到將向量的三個分量分別對 x, y, z 取偏微分後相加。先計算出散度的通式，最後再將給定的座標數值代入即可求得純量結果。
小題 (三)
若 A = xz³ i - 2x²yz j + 2yz⁴ k，求於點(1, -1, 1)之 ∇ × A（或 curl A）。（5分）
思路引導 VIP
看到求向量場旋度（curl），應立即聯想到利用行列式來計算外積 ∇ × A。先對各分量正確執行偏微分得出向量函數通式，最後再將指定的座標值代入求解即可。