地特三等申論題
109年
[電力工程] 工程數學
第 一 題
假設 X 和 Y 為兩個獨立（independent）的隨機變數（random variables），且 X 和 Y 之平均值（mean）均為零，變異數（variance）為 $\sigma^2$ 的高斯分布（Gaussian distribution）。隨機變數 X 和 Y 的聯合機率密度函數（joint pdf）為：
$$f_{XY}(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left[-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right], \quad -\infty < x,y < \infty。$$
定義兩個新的隨機變數 R 及 $\Theta$ 如下：假設 $R = \sqrt{X^2+Y^2}$ 及 $\Theta = \tan^{-1}(Y/X)$，使得 $X = R\cos\Theta$，且 $Y = R\sin\Theta$。請證明隨機變數 R 的機率密度函數為
$$f_R(r) = \frac{r}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right], \quad 0 \le r < \infty。$$（6分）
$$f_{XY}(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left[-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right], \quad -\infty < x,y < \infty。$$
定義兩個新的隨機變數 R 及 $\Theta$ 如下：假設 $R = \sqrt{X^2+Y^2}$ 及 $\Theta = \tan^{-1}(Y/X)$，使得 $X = R\cos\Theta$，且 $Y = R\sin\Theta$。請證明隨機變數 R 的機率密度函數為
$$f_R(r) = \frac{r}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right], \quad 0 \le r < \infty。$$（6分）
📝 此題為申論題
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本題考查多變數隨機變數的變數變換（二維至二維）。解題關鍵在於利用 Jacobian 矩陣行列式，將 X, Y 的聯合機率密度函數轉換為 R, Θ 的聯合機率密度函數，最後對 Θ 積分求得 R 的邊際機率密度函數（即 Rayleigh 分布）。
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AI 詳解
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【解題思路】利用二維隨機變數變換與 Jacobian 行列式，求聯合機率密度函數後計算邊際分布。 【詳解】 已知：$X, Y$ 互相獨立，聯合 pdf 為 $f_{XY}(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left[-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right]$。
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