調查局三等申論題
109年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
有一個週期（period）為2的週期性（periodic）連續時間訊號（continuous-time signal）x(t)；在−1 ≤ t < 1的區間內，x(t) = t^2。將它的傅立葉級數展開式（Fourier-series expansion）寫成如下所示的型式： x(t) = A + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \cos(k\omega_0 t) + b_k \sin(k\omega_0 t)) （每小題4分，共12分）
有一個週期（period）為2的週期性（periodic）連續時間訊號（continuous-time signal）x(t)；在−1 ≤ t < 1的區間內，x(t) = t^2。將它的傅立葉級數展開式（Fourier-series expansion）寫成如下所示的型式： x(t) = A + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \cos(k\omega_0 t) + b_k \sin(k\omega_0 t)) （每小題4分，共12分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
$\omega_0 =$？
思路引導 VIP
看到題目要求解傅立葉級數的基本角頻率 (\omega_0)，應立刻聯想到角頻率與週期之間的物理與數學定義。直接擷取已知條件中的週期 (T=2)，代入公式 (\omega_0 = \frac{2\pi}{T}) 即可迅速求解。
小題 (二)
A = ？
思路引導 VIP
看到傅立葉級數展開式中的常數項 A，應直覺聯想到其物理意義為該週期訊號的『直流分量（DC component）』或『週期內平均值』。直接代入常數項公式 A = (1/T) ∫ x(t) dt，並利用函數的偶次性質（t^2）簡化定積分計算即可求得解答。
小題 (三)
b_1 = ？b_2 = ？b_3 = ？（註：答案必須三者全對才有得分）
思路引導 VIP
遇到傅立葉級數展開題型，首先應觀察函數的奇偶對稱性（Even/Odd Symmetry）。本題訊號在對稱區間內為 t^2，屬於偶函數，根據性質可直接推斷其正弦項係數（b_k）全為零，即可秒殺本題，無須進行繁雜的積分計算。