moea_joint
109年
[土木] 應用力學、材料力學
第 25 題
正六邊形且厚度為 $t$ 之薄管如右圖所示，各邊長度均為 $b$，假設受扭力 $T$ 作用，試推導薄管所受剪應力之公式為何？
- A $\sqrt{2}T / 9b^2t$
- B $\sqrt{3}T / 3b^2t$
- C $\sqrt{3}T / 6b^2t$
- D $\sqrt{3}T / 9b^2t$
思路引導 VIP
如果你面對一個任意形狀的閉合薄管受扭，除了管壁厚度與外加扭矩外，管徑內部的哪一個「幾何特徵」會直接決定它抵抗剪切變形的能力？如果我們試著將這個複雜的多邊形拆解成數個簡單的正三角形，你會如何快速計算出它中線所包圍的總面積呢？
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同學，恭喜你準確地選出了正確答案！這顯示你對於材料力學中「薄管扭轉」的理論掌握得非常紮實，特別是能靈活運用幾何關係來解決力學問題。
薄管扭轉理論與幾何計算
處理這類閉合薄管受扭問題時，最核心的工具就是 Bredt 公式（Bredt's Formula）：$\tau = \frac{T}{2A_m t}$。在這個公式中，關鍵在於求出 $A_m$，也就是管壁「中線」所圍成的面積。由於本題是正六邊形，我們可以將其視為由 6 個邊長為 $b$ 的正三角形所組成。單一正三角形的面積為 $\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，因此總面積 $A_m = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$。
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