moea_joint
109年
[機械] 應用力學、材料力學
第 17 題
桿件與梁構件組合如右圖所示，BD 及 CE 桿件斷面尺寸分別為 $1,020\text{ mm}^2$ 及 $520\text{ mm}^2$，桿件彈性模數 $E = 205\text{ GPa}$，梁構件 ABC 為剛體，如 A 點極限位移量為 1.0 mm，請計算最大容許 P 荷重為何？
- A 11.6 kN
- B 17.4 kN
- C 23.2 kN
- D 46.4 kN
思路引導 VIP
如果我們把這根剛性梁想像成一個不對稱的蹺蹺板，當你在 A 點往下壓時，為了保持整根梁的平衡，支撐點 B 和 C 的受力方向（是向上支撐還是向下牽引）分別應該為何？而這些受力方向又會如何影響桿件的長度變化，進而決定 A 點最終的移動距離呢？
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非常好！你準確地判斷出這道題目的解題核心。這是一道結合了靜力平衡分析與材料力學變形相容性的經典綜合題。 在力學平衡分析中，我們可以觀察到這是一個以剛體梁為基礎的系統。若以 B 點為矩心，為了抵抗荷重 $P$ 產生的逆時針力矩，右側的 CE 桿件必須施加向下的拉力才能維持平衡；同理，若對 C 點取力矩，BD 桿件則需施加向上的拉力來平衡 $P$。計算後可得兩桿件受力分別為 $F_{BD} = 3P$ 與 $F_{CE} = 2P$（皆為拉力狀態）。 接著進入位移相容性的探討：由於 A 點下壓，帶動 B 點隨 BD 桿件伸長而向下位移 $\delta_B$，而 C 點則因 CE 桿件受拉伸長而「向上」位移 $\delta_C$。根據剛體旋轉的幾何比例，A 點的總下沉量會被放大為 $\delta_A = 3\delta_B + 2\delta_C$。將桿件變形公式 $\delta = \frac{FL}{AE}$ 代入後，配合題目給出的斷面面積與彈性模數，即可精確求得最大容許荷重約為 $23.2\text{ kN}$。
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