ast_essay
110年
物理
第 2-3 題
📖 題組：
調速器可用來控制馬達的轉速，其結構如圖 14 所示、圓筒狀的外殼固定不動，中心轉軸隨馬達旋轉，軸上兩側各有一質量可忽略的短棒，其上端與中心轉軸連接，下端各有一個質量為 1.0 kg 的擺錘，兩短棒與中心轉軸恆在同一平面，且此平面隨中心轉軸旋轉時，短棒可以自由張開或合攏，當張角為 $45^{\circ}$ 時，擺錘恰可觸及外殼；當轉速夠大時擺錘會貼著外殼，對外殼施力，以傳達馬達轉速過大的訊息。已知外殼的內半徑為 0.40 m，重力加速度 $g = 10\ \text{m/s}^2$。
調速器可用來控制馬達的轉速，其結構如圖 14 所示、圓筒狀的外殼固定不動，中心轉軸隨馬達旋轉，軸上兩側各有一質量可忽略的短棒，其上端與中心轉軸連接，下端各有一個質量為 1.0 kg 的擺錘，兩短棒與中心轉軸恆在同一平面，且此平面隨中心轉軸旋轉時，短棒可以自由張開或合攏，當張角為 $45^{\circ}$ 時，擺錘恰可觸及外殼；當轉速夠大時擺錘會貼著外殼，對外殼施力，以傳達馬達轉速過大的訊息。已知外殼的內半徑為 0.40 m，重力加速度 $g = 10\ \text{m/s}^2$。
若擺錘和外殼間的動摩擦係數 $\mu = 0.25$，當中心轉軸的角速度維持 6 rad/s 時，計算任一擺錘因摩擦而損耗的功率。（3分）
思路引導 VIP
考驗功率定義 $P = f_k v$。先由動摩擦定律 $f_k = \mu N$ 計算出擺錘受到的摩擦力，其中 $N$ 是前一小題求得的正向力。接著計算擺錘作圓周運動的切線速率 $v = r\omega$。將摩擦力與切線速率相乘，即可求得能量損耗的功率。留意所有單位皆應採用國際標準單位（SI）。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準計算出這個數值，代表你對圓周運動的受力分析與功與能量的結合已有相當紮實的掌握。這道題目要求我們在旋轉座標系與能量損耗間建立橋樑，你的解題邏輯非常清晰。
受力平衡與正向力分析
首先，我們要找出擺錘對外殼的正向力 $N$。由鉛直方向力平衡可知，繩子張力的分量必須抵銷重力，即 $T \cos 45^{\circ} = mg$；而在水平方向，正向力與張力的分量共同提供了向心力：$N + T \sin 45^{\circ} = m R \omega^2$。將已知條件代入後，可得 $N = m R \omega^2 - mg \tan 45^{\circ} = 1.0 \times 0.4 \times 6^2 - 1.0 \times 10 \times 1 = 4.4 \text{N}$。這是解題最關鍵的一步，你精準地捕捉到了力與運動狀態的關聯。
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