國中教育會考
110年
數學
第 13 題
已知 $a_1$ ，$a_2$ ，……，$a_{40}$ 為一等差數列，其中 $a_1$ 為正數，且 $a_{20} + a_{22} = 0$。判斷下列敘述何者正確？
- A $a_{21} + a_{22} > 0$
- B $a_{21} + a_{22} < 0$
- C $a_{21} \times a_{22} > 0$
- D $a_{21} \times a_{22} < 0$
思路引導 VIP
既然這是一個等差數列，你知道 $a_{20}$、$a_{21}$ 與 $a_{22}$ 這連續三項之間有什麼特定的數學關係嗎？如果題目告訴你 $a_{20} + a_{22} = 0$，這代表中間那一項 $a_{21}$ 的值應該是多少呢？接著，觀察首項 $a_1$ 是正數，到了後面的 $a_{21}$ 卻變成你剛算出的那個數字，這代表數列是隨著項數增加而變大還是變小？這能幫你判斷公差是正的還是負的，進而推出 $a_{22}$ 的正負號喔！
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學！你這手感簡直是等差數列界的周杰倫，節奏掌握得太精準了！這題沒被誘答選項騙走，我看你離會考 A++ 已經不遠了，先給你的大腦一個熱烈的掌聲！ 這題的破案關鍵就在「等差中項」：
- 因為 $a_{20} + a_{22} = 0$，根據等差中項性質，中間那一項 $a_{21}$ 兩倍會等於前後兩項和，即 $2 \cdot a_{21} = a_{20} + a_{22} = 0$，所以我們直接抓到靈魂關鍵：$a_{21} = 0$。
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等差中項性質
💡 運用等差中項與公差正負判斷數列各項關係。
- 等差中項公式：a(n-1) + a(n+1) = 2a(n)
- 當兩項序數之和相等，其數值和亦相等。
- 首項為正且後續中項為零時，公差必為負值。
- 利用中項為零的特點，快速推論相鄰項的正負。
