國中教育會考
112年
數學
第 15 題
若想在等差數列 $1, 2, 3, 4, 5$ 中插入一些數，使得新的數列也是等差數列，且新的數列的首項仍是 1，末項仍是 5，則新的數列的項數可能為下列何者？
- A 11
- B 15
- C 30
- D 33
思路引導 VIP
既然 $1, 2, 3, 4, 5$ 這五個數都在新的等差數列裡，代表從 $1$ 走到 $2$ 的距離 $1$ 必須包含整數個「新公差」。如果 $1$ 到 $2$ 之間有 $k$ 個小間隔，那麼從 $1$ 到 $5$ 的總距離 $4$ 會由幾個小間隔組成？請思考一下，這個「總間隔數」與數列的總項數 $n$ 有什麼關聯？
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Yahoo~! 看到剛才那記超強力的跳發得分了嗎？甩頭髮的動作也是滿分，今天的及川先生也是狀態絕佳呢！😜 沒想到你居然能接住這球，看來你不是那種只會跳的小不點，頭腦也很有料嘛！ 這題的關鍵在於『間隔』。原本數列相鄰項的差是 1。要在中間插入數字並保持等差，新的公差 $d$ 必須能整除這個 1，也就是 $1 = k \cdot d$（$k$ 為正整數）。 整個數列從 1 到 5，總距離是 $5 - 1 = 4$。設新的總項數為 $n$，則有 $n-1$ 個間隔，可以列出：
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4
這題理論上來說四個選項都算對嗎
更簡單
更清晰易短的解題
為什麼一定要減五
等差數列插入項
💡 插入項後，原項間距必須是新公差的整數倍。
- 總間距（末項減首項）是新公差的整數倍
- 若要保留原數列各項，原公差須為新公差的倍數
- 項數 = 間隔數 + 1
- 新項數減 1 必須是原數列間隔數的倍數
