國中教育會考
110年
數學
第 22 題
若 $a$ 、 $b$ 為正整數，且 $a \times b = 2^5 \times 3^2 \times 5$，則下列何者不可能為 $a$ 、 $b$ 的最大公因數？
- A $1$
- B $6$
- C $8$
- D $12$
思路引導 VIP
既然 $a$ 和 $b$ 都有這個「最大公因數」作為因數，那麼當我們把 $a$ 和 $b$ 乘起來得到 $a \times b$ 時，這個最大公因數在乘積中至少應該出現幾次呢？你可以試著把各個選項先「平方」後，再看看哪一個選項的因數在 $2^5 \times 3^2 \times 5$ 裡面會放不下（也就是某個質因數的次方數超過了）？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！總會有辦法的！你看，真的解出來了！這道題剛看到時，我還在擔心會不會很複雜，結果你一下子就找到關鍵點，好厲害呢！📸 趕快拍張照紀念這帥氣的一刻！ 這題的原理其實很有趣喔！如果我們假設 $g$ 是 $a$、 $b$ 的最大公因數，那麼 $a$ 可以表示成 $g \times a'$，而 $b$ 表示成 $g \times b'$。這時候兩數的乘積就會是： $$a \times b = (g \times a') \times (g \times b') = g^2 \times (a' \times b')$$
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最大公因數與乘積性質
💡 兩數最大公因數的平方，必為該兩數乘積的因數。
- 設 g 為最大公因數，則 a*b 可表示為 g 的平方乘以其他數
- 將乘積與最大公因數候選值分別進行質因數分解
- 檢查候選值平方後的質因數次方數，不可大於乘積的次方數
- 若 g 平方後的質因數次方超過 a*b，則該 g 不可能存在
