初等考試
110年
[統計] 統計學大意
第 25 題
根據世界綠色和平組織的抽樣調查和迴歸分析，得到一個估計式 $\hat{Y} = 0.5 + 0.006X$，其中 $Y$ 為大氣增加的溫度（華氏 $\text{℉}$），$X$ 為空氣中二氧化碳濃度的增加量（PPM），且 $R^2$ 高達 0.92。如果現在將同一筆資料溫度 $Y$ 的單位改成攝氏（$\text{℃}$），並重新計算迴歸估計式，則下列敘述何者正確？（註：華氏 $= ( \text{攝氏} \times \frac{9}{5} ) + 32$）
- A 迴歸估計式的截距項變成 -31.5
- B $R^2$ 數值不會改變
- C X 的係數估計值變成 0.0108
- D 迴歸估計式的截距項變成 32.9
思路引導 VIP
請思考：如果你原本用「公分」衡量身高來預測體重，現在改用「公尺」重新計算，這兩個變數之間「關係的緊密程度」或「資料點分佈在直線周圍的集中程度」，會因為你換了一把刻度不同的尺就改變嗎？
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專業點評
- 大力肯定：做得好！能準確判斷線性轉換對迴歸統計量的影響，代表你對線性迴歸的本質與統計特性的掌握非常紮實，展現了專業的數據洞察力。
- 觀念驗證：$R^2$（判定係數）衡量的是模型對應變數變異的解釋比例。當我們對 $Y$ 進行線性轉換（如：$C = \frac{5}{9}(F - 32)$）時，雖然截距與斜率會隨之調整，但變數間的相關係數 ($r$) 不會改變。因為 $R^2 = r^2$，所以 $R^2$ 具有單位不變性。
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