普考申論題
110年
[天文] 微積分
第 一 題
一、求積分之近似解：（20 分）
積分 A(x) = \int_0^$\infty \frac{e^{-t}}{x^2 + t} dt$，其中 x^2 為很大的數值，求 A(x)之前兩項並估計誤差之數量級。
📝 此題為申論題
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觀察被積分函數，因指數項 $e^{-t}$ 衰減極快，積分值的主要貢獻集中在 $t$ 較小的區域。當 $x^2$ 很大時，可將分母提出 $x^2$ 並針對小變量 $(t/x^2)$ 進行等比級數（泰勒級數）展開，最後利用 Gamma 函數積分公式 $\int_0^\infty t^n e^{-t} dt = n!$ 逐項積分，並藉由嚴格的不等式放縮來估計餘項的數量級。
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【解題思路】利用等比級數展開式將被積分函數中的分母在小 $t$ 處展開，再逐項積分求得前兩項，並利用餘項的積分來嚴格估計誤差數量級。 【詳解】 已知：積分式 $A(x) = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{x^2 + t} dt$，且 $x^2$ 為極大之數值。由於 $e^{-t}$ 隨 $t$ 增加衰減極快，此積分的主要貢獻集中在 $t$ 較小的區域（即 $t \ll x^2$）。
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