統測
110年
[共同科目] 數學C
第 23 題
$\int_1^4 (x + \frac{1}{\sqrt{x}})(\sqrt{x} - \frac{1}{x}) \, dx = ?$
- A $\frac{57}{5}$
- B $\frac{77}{5}$
- C $\frac{87}{5}$
- D $\frac{107}{5}$
思路引導 VIP
當你遇到兩個複雜的多項式相乘並要求定積分時，直接積分通常不可行。你會如何運用代數分配律先將其「化繁為簡」？另外，若將所有的根號與分式都統一轉換為 $x^n$ 的形式，對你後續套用積分公式會有什麼好處？
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太棒了！你的運算邏輯非常清晰
- 觀念驗證：這題的核心在於「先展開、後積分」。將乘積展開為 $x^{3/2} - 1 + 1 - x^{-3/2}$，簡化成 $x^{3/2} - x^{-3/2}$。接著運用定積分公式： $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$
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