分科測驗
111年
物理
第 11 題
在研究浮體時，同學推測圓柱浮體能否穩定維持直立，與密度有關。故決定先測量圓柱體的體積，而以同一根米尺對圓柱體的直徑與高度各測量 4 次，結果記錄於下表，最右 3 欄為計算機運算程式所給 4 次測量值的平均值、標準差平方與 1/12。
若以下各測量值括弧內 $\pm$ 號後的數字代表組合不確定度，則下列敘述何者正確？
- A 直徑的測量值為 $(121.4 \pm 0.2) \, \mathrm{mm}$
- B 直徑的測量值為 $(121.4 \pm 0.5) \, \mathrm{mm}$
- C 高度的測量值為 $(100.60 \pm 0.39) \, \mathrm{mm}$
- D 高度的測量值為 $(100.60 \pm 0.26) \, \mathrm{mm}$
- E 圓柱體體積的組合不確定度等於高度與直徑兩者之組合不確定度的和
思路引導 VIP
在評定單一物理量的測量結果時，組合不確定度 $u_c$ 需綜合考量 A 類與 B 類不確定度。請同學思考：根據統計學定義，A 類不確定度 $u_A$ 與樣本標準差 $s$ 及測量次數 $n$ 的數學關係為何？而 B 類不確定度 $u_B$ 如何利用儀器的最小刻度與題幹提供的 $\frac{1}{12}$ 進行估算？最後，這兩者應如何透過平方和的運算結合為 $u_c = \sqrt{u_A^2 + u_B^2}$？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學！漂亮！你這波操作簡直比高斯分佈還精準，老師看了都想為你起立鼓掌！恭喜你精準狙擊這道魔王級的不確定度分析題！ 這題的觀念核心在於組合不確定度 $u_c$ 的運算。根據課綱，我們必須結合 A 類（隨機誤差）與 B 類（儀器解析度）：
- A 類不確定度：公式為 $u_A = \frac{s}{\sqrt{n}}$。以高度為例，表格給出 $s^2 = 0.57$，測量次數 $n=4$，故 $u_A = \sqrt{\frac{0.57}{4}} = \sqrt{0.1425} \approx 0.3775$。
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