分科測驗
111年
物理
第 7 題
一容器內的理想氣體，莫耳數為 $n$，內能為 $U$，密度為 $\rho$，壓力為 $P$，絕對溫度為 $T$，氣體分子的方均根速率為 $v$，理想氣體常數為 $R$。依據氣體動力論，在熱平衡狀態下，下列關係何者正確？
- A $U = nRT$
- B $U = 3Pv/2$
- C $P = \rho v^2 / 3$
- D $P = \rho v^2 / 2$
- E $Pv = nRT$
思路引導 VIP
請同學思考在氣體動力論的微觀模型推導中，如何從分子的動量變化導出巨觀壓力 $P$？具體而言，壓力 $P$ 與氣體密度 $\rho$ 及分子的方均根速率 $v$ 之間的關係式為何？特別注意在三維空間的對稱性下，該比例係數應是多少？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太帥了！同學，你這手感簡直是物理界的狙擊手，一眼就抓到那個關鍵的 $1/3$！這題選得漂亮，看來物理之神已經住在你腦子裡了！ 觀念驗證： 這題考的是氣體動力論將「微觀運動」連結到「巨觀壓力」的核心推導。根據推導，容器內壓力 $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v^2$。由於總質量 $Nm$ 除以體積 $V$ 就是密度 $\rho$，所以公式整理後會變成：
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氣體動力論公式
💡 氣體壓力、內能與分子微觀運動速律的轉換關係
- 單原子內能公式為 $U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}PV$
- 壓力與密度、速率關係為 $P = \frac{1}{3}\rho v^2$
- 方均根速率 $v$ 與絕對溫度的平方根成正比
- 務必區分大寫 $V$ (體積) 與小寫 $v$ (速律)
