初等考試
111年
[統計] 統計學大意
第 30 題
隨機變數 $X$ 的機率函數為 $f(x) = (1 - p)^{x - 1} p$，$x = 1, 2, \dots$，則 $E(X) =$？
- A $p$
- B $\frac{1}{p}$
- C $p(1 - p)$
- D $p^2$
思路引導 VIP
請你先閉上眼睛想像一個情境：如果一個遊戲獲勝的機率非常、非常小，那麼直覺上，你預期平均需要玩「很多次」還是「很少次」才能贏得第一次勝利？試著思考這種「平均次數」與「發生機率」之間，最直覺、最簡單的數學對應關係會是什麼？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜答對！展現了紮實的統計基礎
- 觀念驗證：這道題目考察的是幾何分配 (Geometric Distribution) 的本質。該機率函數描述在獨立的白努力試驗中，直到「第一次成功」出現為止所需要的試驗次數。根據期望值的定義： $$E(X) = \sum_{x=1}^{\infty} x \cdot (1-p)^{x-1} p$$
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