高考申論題
111年
[土木工程] 測量學
第 三 題
一條公路如圖所示，BC 為圓弧路段，B 點為圓弧曲線的起點（B.C.），C 點為圓弧曲線的終點（E.C.）。A、B、C 三點共圓，其坐標分別為（xA, yA）=（190.000, 260.000）、（xB, yB）=（500.000, 560.000）和（xC, yC）=（755.000, 110.000）（單位均為公尺），I.P.點的里程為 210K + 348。試求三角形△ABC 的三個邊長和三個內角值、圓弧曲線曲率半徑、B 點到 I.P.點的切線長、圓弧 BC 的長度和角度 I 之值、圓弧曲線起點（B.C.）和終點（E.C.）的里程。（所有角度計算到秒，秒以下四捨五入；長度計算到毫米，毫米以下四捨五入）。（25 分）
📝 此題為申論題
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這是一道標準的「路線測量」綜合計算題。解題脈絡必須非常清晰，因為前面的計算結果會影響後面的答案。首先，利用A、B、C三點坐標算出邊長 $a, b, c$（兩點距離公式）。接著，利用餘弦定理求出三個內角 $\angle A, \angle B, \angle C$。題目指出A、B、C共圓，且BC為圓弧路段，這意味著 $\triangle ABC$ 的外接圓半徑就是這段曲線的曲率半徑 $R$，利用正弦定理 $2R = a / \sin A$ 即可求得 $R$。再來求偏角（交角）$I$：由幾何關係可知，圓弧BC對應的圓心角會等於兩切線交角 $I$，而圓心角等於 $2 \times$ 圓周角 $\angle A$（因為A在圓上），所以 $I = 2\angle A$。接著代入標準公式：切線長 $T = R \tan(I/2)$，曲線長 $L = R \times I_{rad}$。最後計算里程：B.C. = I.P. - T，E.C. = B.C. + L。計算過程要注意有效位數，依題意長度取至小數第三位(mm)，角度取至秒。
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【考點分析】 本題考查路線測量中「單曲線」之元素計算，結合了坐標幾何、三角測量（餘弦定理、正弦定理外接圓性質）與曲線里程推算，為測量學中非常經典的綜合計算題。 【理論/法規依據】
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