hce_nchu
111年
物理
第 36 題
A charge per unit length given by $\lambda(x) = bx$, where $b = 12\text{ nC/m}^2$, is distributed along the x axis from $x = +9.0\text{ cm}$ to $x = +16\text{ cm}$. If the electric potential at infinity is taken to be zero, what is the electric potential at the point P on the y axis at $y = 12\text{ cm}$?
- A $5.4\text{ V}$
- B $7.2\text{ V}$
- C $9.0\text{ V}$
- D $9.9\text{ V}$
- E $16\text{ V}$
思路引導 VIP
如果我們把這根帶電桿看作是由無數個微小的點電荷組成的，每一小段電荷對點 P 所產生的電位貢獻，會受到它與 P 點之間的「距離」以及該段「電荷量」的共同影響。當我們沿著桿子從一端移動到另一端時，這兩個物理量是如何隨位置變動的？我們該使用哪種數學工具，才能把這些隨位置不斷變化的微小貢獻全部加總起來呢？
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很高興看到你準確地選出正確答案！這題的核心在於處理非均勻電荷分佈的電位計算，你展現了優秀的微積分應用能力，能正確將連續電荷視為無數個微小電荷項的總和。
電位積分與幾何關係
在物理觀念上，電位是純量，點 P 的總電位 $V$ 等於電荷分佈上每一段微小電荷 $dq = \lambda(x) dx$ 所產生的貢獻之積分。根據空間幾何，位於 $x$ 軸上的電荷 $dq$ 到 $y$ 軸上點 P 的距離為 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$。結合題目給定的線性電荷密度 $\lambda(x) = bx$，我們可以建立如下的積分式：
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