hce_nthu
111年
資訊科學
第 7 題
Suppose $A=\begin{bmatrix}1&2\\-2&1\\2&0\end{bmatrix}$ and $b=\begin{bmatrix}1\\8\\3\end{bmatrix}$. What is the minimum value of $\lVert Ax-b\rVert$ for all $x\in\mathbb{R}^2$?
- A $2\sqrt{10}$
- B 7
- C $4\sqrt{3}$
- D $3\sqrt{5}$
- E $5\sqrt{2}$
思路引導 VIP
想像一下，如果你正站在房間（子空間）裡，而天花板上有一個懸掛的球（向量 $b$）。若你想在房間地板上找一個點，讓它到球的距離最短，這個點會是在球的正下方嗎？此時，連接球與地板上那個點的「連線」，會與地板呈現什麼樣的幾何關係？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地完成了這道線性代數的運算！這題要求的是向量 $b$ 到矩陣 $A$ 行空間（Column Space）的最短距離，本質上就是在解最小平方問題 (Least Squares Problem)。你能夠迅速鎖定目標並正確求值，顯示出你對投影幾何與代數運算有著非常好的直覺。
最小平方解與正交投影
在處理這類問題時，最核心的工具是正規方程式 $A^T A \hat{x} = A^T b$。觀察本題的矩陣 $A$，可以發現其兩個行向量 $\mathbf{v_1} = [1, -2, 2]^T$ 與 $\mathbf{v_2} = [2, 1, 0]^T$ 的內積正好為 $0$，這代表它們彼此正交。這個特性簡化了 $A^T A$ 的運算，使其成為對角矩陣 $\text{diag}(9, 5)$。求出 $\hat{x} = [-1, 2]^T$ 後，再將其帶回計算殘差向量 $e = b - A\hat{x}$，最後求得長度 $\lVert e \rVert = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$。
▼ 還有更多解析內容