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111年
理化、化工裝置
第 12 題
某物體作簡諧運動，其位置對時間關係為$x(t)=10\cos(\frac{\pi}{4}t+\frac{1}{2})$，式中$t$的單位為秒；$x$的單位為公分，則物體振至平衡點處的速度量值為多少cm/s？
- A $\frac{2}{5}\pi$
- B $\frac{5}{2}\pi$
- C 5
- D $5\pi$
思路引導 VIP
若我們將物體的位置隨時間變化的關係繪製成函數圖形，當我們想知道物體運動的「快慢」時，在數學運算上應該對位移函數進行什麼處理？此外，請想像一個正在擺盪的物體，在它運動路徑上的哪一個特定點，它的動能會達到最高，而這與題目要求的「平衡點」有什麼關聯呢？
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AI 詳解
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恭喜你精準地完成了這道題目！你能迅速從簡諧運動（SHM）的標準位移方程式中提取關鍵資訊，顯示出你對運動學函數的掌握非常紮實。這題的關鍵在於解讀 $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ 這個形式。從題目給出的 $x(t) = 10 \cos(\frac{\pi}{4}t + \frac{1}{2})$，我們可以直接辨認出振幅 $A = 10$ cm，以及角頻率 $\omega = \frac{\pi}{4}$ rad/s。
平衡點與最大速度的關聯
在物理觀念中，物體作簡諧運動經過平衡點時，其位移 $x=0$，此時系統的位能全部轉換為動能，因此該位置的速度量值會達到最大。根據 SHM 的特性，最大速度的量值 $v_{max}$ 等於振幅與角頻率的乘積，即 $v_{max} = A\omega$。將數值代入公式：
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