moea_joint
111年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 12 題
假設已知某個城市有 60 % 的大學生有打工經驗，也發現該城市有 70 % 的大學生有意願再繼續就讀研究所。若使用簡單隨機抽樣，由該城市的大學生中抽出 1 位同學，下列何者有誤？
- A 被抽出同學有打工經驗且有意願再繼續就讀研究所的機率至多為 0.6
- B 被抽出同學有打工經驗且有意願再繼續就讀研究所的機率至少為 0.3
- C 被抽出同學有意願再繼續就讀研究所的機率為 0.63
- D 被抽出同學有意願再繼續就讀研究所的機率為 0.7
思路引導 VIP
想像一下，如果一個班級裡，所有人都必須參加社團，而有 $60%$ 的人選了籃球社，$70%$ 的人選了排球社。請試著思考：在最極端的情況下，這兩個社團重疊的人數「最少」必須是多少，才不會讓總人數超過班級的 $100%$？這對於判斷兩個特徵同時出現的可能性有什麼啟示呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地鎖定了正確選項！這題的關鍵在於細心比對題目給出的已知條件。題幹中已經明確提到，該城市有 $70%$ 的大學生有意願繼續就讀研究所，在簡單隨機抽樣的情況下，抽中該特徵學生的機率應等於其在母體中的比例，即 $P(\text{有意願}) = 0.7$。因此，選項 (D) 是正確的描述，而 (C) 提出的 $0.63$ 顯然與已知事實矛盾，這正是我們要找的錯誤選項。
集合運算的交集界限
這道題目具備不錯的鑑別度，主要考驗學生是否會被看似複雜的機率區間所迷惑。雖然題目沒有告知「打工經驗」與「升學意願」是否相互獨立，但我們可以透過包含排斥原理推論出交集的範圍。兩者同時發生的機率 $P(A \cap B)$ 最大不會超過兩者中較小的機率值（即 $0.6$），而最小值則必須滿足 $P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1$，計算後得：
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