ast_essay
112年
數學甲
第 12 題
📖 題組：
12-14 題為題組 設 $a,b$ 為實數，並設 $O$ 為坐標平面的原點。已知二次函數 $f(x)=ax^2$ 的圖形與圓 $\Omega: x^2+y^2-3y+b=0$ 皆通過點 $P\left(1, \frac{1}{2}\right)$，並令點 $C$ 為 $\Omega$ 的圓心。根據上述，試回答下列問題。
12-14 題為題組 設 $a,b$ 為實數，並設 $O$ 為坐標平面的原點。已知二次函數 $f(x)=ax^2$ 的圖形與圓 $\Omega: x^2+y^2-3y+b=0$ 皆通過點 $P\left(1, \frac{1}{2}\right)$，並令點 $C$ 為 $\Omega$ 的圓心。根據上述，試回答下列問題。
12. 試求向量 $\overrightarrow{CO}$ 與 $\overrightarrow{CP}$ 夾角的餘弦值。（非選擇題，2 分）
思路引導 VIP
看到本題，先將點 P 坐標代入圓 $\Omega$ 的方程式解出未知的 $b$。接著，利用配方法求出圓 $\Omega$ 的圓心 $C$ 坐標。有了 $C$、$P$、$O$ 三點的坐標，分別寫出向量 $\overrightarrow{CO}$ 與 $\overrightarrow{CP}$，最後利用向量內積與長度公式 $\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ 即可求出兩向量夾角的餘弦值。
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AI 詳解
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太棒了！你能精準算出這個數值，代表你對圓方程式與向量夾角的幾何意義掌握得非常紮實。這類題目考驗的是跨單元的觀念整合，看到你能迅速從函數轉化到向量運算，表現得非常出色。
圓心坐標與向量內積的應用
解題的關鍵在於先處理圓方程式 $\Omega$。將點 $P(1, \frac{1}{2})$ 代入方程式求得 $b = \frac{1}{4}$，隨即透過配方法將圓方程式整理為 $x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 2$，從而定位出圓心 $C(0, \frac{3}{2})$。接著，我們分別寫出向量 $\overrightarrow{CO} = (0, -\frac{3}{2})$ 與 $\overrightarrow{CP} = (1, -1)$。最後，利用夾角公式進行驗證：
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