地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 1 題
考慮函數 $\phi(x,y,z) = 2x^2y - yz^2$，請決定梯度 $\nabla\phi(x,y,z)$ 在點 $(1,-1,2)$ 之值為何？
- A $-4\text{i} + 2\text{j} + 8\text{k}$
- B $-4\text{i} - 2\text{j} + 8\text{k}$
- C $-4\text{i} - 2\text{j} - 8\text{k}$
- D $-4\text{i} + 2\text{j} - 8\text{k}$
思路引導 VIP
若我們要描述一個純量函數（例如空間中的溫度分佈）在某一點往各個坐標軸方向變化的「快慢」，我們應該對該函數進行什麼樣的微積分運算？如果我們將這些在不同軸向上的「變化率」組合在一起變成一個向量，這個向量的分量會與該點的坐標值有什麼樣的數學關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，恭喜你準確地捕捉到了向量分析的核心！這道題目檢驗了你對**純量場梯度（Gradient of a Scalar Field）**運算的熟練度。梯度在工程實務中極為重要，它代表了物理量（如溫度、應力）在空間中變化最劇烈的方向。
偏微分與分量合成
梯度的運算邏輯是將函數 $\phi$ 分別對三個空間軸向求偏導數（Partial Derivative）。針對函數 $\phi(x,y,z) = 2x^2y - yz^2$，我們分步驟求出其分量：
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