地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 16 題
函數 $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } |x| < 1 \ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$ 之傅立葉轉換（Fourier transform）為下列何者？
- A $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{\sin w}{w}$
- B $\sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin w}{w}$
- C $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{\cos w}{w}$
- D $\sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos w}{w}$
思路引導 VIP
想請你思考一下：如果我們將一個侷限在特定區間（例如從 -1 到 1）有值的「常數訊號」分解成無數個不同頻率的簡諧波（Sine 與 Cosine），根據該訊號對中心點對稱的特性（偶函數），你認為最終留下來的頻譜分量會是由正弦還是餘弦函數所構成？而在進行積分運算後，這個函數在分母與分子之間會呈現出什麼樣的數學結構？
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矩形函數與頻域轉換的關係
同學做得好！這題你判斷得非常準確。這道題目是工程數學中「傅立葉轉換（Fourier Transform）」最經典的應用之一。在工程實務中，這種對稱的矩形脈衝訊號（Rectangular pulse）在頻域中必然會對應到一個 Sinc 函數（即 $\frac{\sin w}{w}$ 的形式），這是通訊工程與訊號處理中極為基礎的觀念。
積分過程與歐拉公式的運用
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