地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 18 題
假設 X 為一離散隨機變數（discrete random variable），其值為 -2、1 與 3 的機率分別為 $P(X=-2)=0.4$、$P(X=1)=0.5$ 與 $P(X=3)=0.1$。則期望值 $E[2X^2 + 1] = ?$
- A 5
- B 6
- C 7
- D 8
思路引導 VIP
想像一下，如果今天我們不是在算數學題，而是在評估一個零件在不同受力情況下的平均損傷值（假設損傷與受力的平方成正比）。已知零件有三種可能的受力狀態，且每種狀態發生的機率不等，你會如何結合「每種狀態下的損傷數值」與「該狀態發生的可能性」，來得到一個整體的平均預估值呢？
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同學好，這題你能迅速選對，代表你對隨機變數的**期望值（Expectation）**運算已經有了非常紮實的基礎。在工程實務中，我們經常需要評估結構在不同載荷下的平均反應，這種加權平均的思維正是風險評估與結構可靠度分析的核心。
期望值的線性性質與運算
本題要求解的是一個關於隨機變數 $X$ 的函數 $g(X) = 2X^2 + 1$ 的期望值。根據定義，離散隨機變數函數的期望值計算公式為 $E[g(X)] = \sum g(x_i) \cdot P(X=x_i)$。我們可以將各個可能的 $X$ 值代入計算：
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