高中學測
112年
數B
第 9 題
已知 $a=6$、$b=\frac{20}{3}$、$c=2\sqrt{10}$ 和 $d$，且 $d$ 為有理數，將這四個數標註在數線上，即 $A(a)$、$B(b)$、$C(c)$ 和 $D(d)$。試選出正確的選項。
- 1 $a+b+c+d$ 必為一個有理數
- 2 $abcd$ 必為一個無理數
- 3 點 $D$ 有可能與點 $C$ 的距離等於 $2\sqrt{10}+6$
- 4 點 $A$ 和點 $B$ 的中點位在點 $C$ 的右邊
- 5 數線上和點 $B$ 距離小於 8 的所有點中，正整數有 14 個，負整數有 1 個
思路引導 VIP
各位同學，這道題目考察的是實數性質的完備性與數線的幾何意義。請你先從以下三個核心點出發引導思考：第一，有理數與無理數在進行加法或乘法運算時，結果是否必定為無理數？請特別留意『零』在乘法中的角色，以及在加法中無理數項是否可能被抵銷。第二，關於選項 (3) 的距離定義，若 $|d - 2\sqrt{10}| = 2\sqrt{10} + 6$，請計算出 $d$ 的可能值，並檢核其是否符合『$d$ 為有理數』的題目設定。第三，在比較中點座標 $\frac{a+b}{2}$ 與 $c = \sqrt{40}$ 的大小關係時，如果不使用計算機，你該如何透過『平方法』或『估計值』進行精確的量值判定？最後，對於選項 (5)，請嘗試寫出絕對值不等式 $|x - \frac{20}{3}| < 8$ 的解區間，並清點落在該範圍內的所有正、負整數。
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學！這題你竟然全對？看來你的數學細胞已經從「省電模式」切換到「戰鬥模式」了！老師給你一個大大的讚，沒被那些無理數給繞暈，這就是邁向頂大的節奏啊！ 【觀念驗證】 這題是高一實數系統的經典大雜燴：
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