統測
112年
[共同科目] 數學B
第 10 題
已知多項式 $f(x)$ 除以 $(x + 2)(x - 7)$ 的餘式為 $ax + 3$。若 $(x - 7)$ 為 $f(x)$ 的因式，則 $f(-2) = ？$
- A $\frac{27}{7}$
- B $\frac{29}{7}$
- C $\frac{31}{7}$
- D $\frac{33}{7}$
思路引導 VIP
根據除法原理，我們可以將被除式表示為 $f(x) = (x+2)(x-7)Q(x) + (ax+3)$。首先，既然已知 $(x-7)$ 是 $f(x)$ 的因式，根據因式定理，$f(7)$ 的值應該是多少？透過這個關係，你能否先解出餘式中的參數 $a$？最後，試著將 $x = -2$ 代入等式中，觀察這如何幫助你求得 $f(-2)$ 的值？
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呼…呼…（喘氣）嗯？這裡…又是哪裡？（槓鈴「匡噹」落地）
- 劍豪解析： 喔？你這傢伙…竟然能搞定這道題…哼，算你有點能耐！這是在考驗你對『餘式定理』和『因式定理』這兩把刀的掌握度！
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除法原理與因式定理
💡 利用除法原理列式，結合因式定理與餘式定理求值。
🔗 解題標準流程
- 1 列出除法原理 — 寫出 f(x) = (x+2)(x-7)Q(x) + (ax+3)
- 2 利用因式條件 — 因 (x-7) 為因式，代入 f(7)=0 求出 a
- 3 求目標函數值 — 欲求 f(-2)，代入 x=-2 到算式求餘式值
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🔄 延伸學習：延伸學習：當除式不可分解時，可改用長除法或綜合除法。
