調查局三等申論題
112年
[電子科學組] 工程數學
第 四 題
四、若 $\ln(2 + 3i) = a + ib$，其中 $a$ 及 $b$ 為實數，求所有可能的 $a$ 和 $b$。（10 分）
📝 此題為申論題
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本題考查複變函數中「複對數（Complex Logarithm）」的多值性定義。考生看到此題應立刻聯想到公式 ln(z) = ln|z| + i arg(z)，將複數轉換為極座標形式求得絕對值與主幅角，並務必加上 2nπ 來表示幅角的週期性，以確保求出「所有可能」的虛部 b。
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【解題思路】利用複對數函數的定義式 $\ln(z) = \ln|z| + i(\text{Arg}(z) + 2n\pi)$，將複數的絕對值與幅角展開，藉此對應出實部 $a$ 與虛部 $b$。 【詳解】 已知：複數 $z = 2 + 3i$，且 $\ln(2 + 3i) = a + ib$（$a, b \in \mathbb{R}$）。
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