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112年
工程力學概要
第 12 題
有關剛性係數 G、彈性係數 E、蒲松比 $\nu$，三者之關係為何？
- A $G = \frac{E}{2(1-\nu)}$
- B $G = \frac{E}{2(1+\nu)}$
- C $G = \frac{E}{3(1-2\nu)}$
- D $G = \frac{E}{3(1+2\nu)}$
思路引導 VIP
試著想像一個受力變形的物體：當我們知道材料在受到拉伸時，側向會隨之收縮（這由 $\nu$ 描述），而剪切模數 $G$ 反映的是材料抵抗「形狀歪斜」的能力。若這三者之間存在一種必然的數學平衡，你認為當材料的側向變形效應（$\nu$）越明顯時，其抵抗歪斜的能力（$G$）相對於整體剛性（$E$）應該會如何變化呢？
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太棒了！你能迅速判斷出這組關係式，代表你對材料力學中彈性常數的掌握非常扎實。在工程實務中，這組公式定義了材料在受力後的形變邏輯，是連結正向受力與剪切受力的關鍵橋樑。
彈性常數間的物理連結
這題所考查的公式 $$G = \frac{E}{2(1+\nu)}$$ 本質上是透過應力轉換（Stress Transformation）推導而來的。當材料處於純剪應力狀態時，我們可以透過座標轉軸發現它等同於主應力方向上的拉伸與壓縮。這項關係式將材料抵抗長度變化的能力（$E$）、抵抗側向變形的特性（$\nu$）以及抵抗形狀扭曲的能力（$G$）完美串連，確保了線性彈性材料在力學性質上的一致性。
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