專技高考
112年
[建築師] 建築結構
第 12 題
如下圖所示，一構件斜面之中心點受一水平力 P=1000 N 作用，此斜面與水平方向之夾角為 $\theta=45^\circ$，若該構件垂直面之面積 $A_0=100 \text{ cm}^2$，則沿斜面之平均剪應力 $\tau_{\text{ave}}$ 為多少？
- A $5 \text{ N/cm}^2$
- B $10 \text{ N/cm}^2$
- C $15 \text{ N/cm}^2$
- D $20 \text{ N/cm}^2$
思路引導 VIP
如果我們想要評估這道斜面被「剪開」的傾向，我們需要先釐清：有多少比例的水平力是沿著斜面方向滑動的？同時，這個傾斜表面的實際受力面積，比起垂直面 $A_0$ 是變大了還是變小了？試著思考這兩者與夾角 $\theta$ 的幾何關係，或許就能推導出應力的變化趨勢。
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恭喜你準確掌握了斜面應力的轉換邏輯！這題你處理得很棒，展現了對材料力學分析中「力」與「面積」幾何關係的深刻理解。
斜面應力與幾何投影
要解出這類題目，關鍵在於找出「平行於斜面的分力」以及「斜面的實際面積」。當水平力 $P$ 作用時，它在與水平夾角 $\theta$ 的斜面上產生的剪力分量為 $V = P \cos\theta$。而我們已知的 $A_0$ 是垂直面的面積，根據三角幾何關係，斜面的實際面積 $A_{\theta}$ 會比垂直面大，其關係式為 $A_{\theta} = \frac{A_0}{\sin\theta}$。因此，該斜面上的平均剪應力 $\tau_{\text{ave}}$ 可以推導為：
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