分科測驗
113年
數學甲
第 7 題
坐標平面上，考慮兩函數 $f(x)=x^5-5x^3+5x^2+5$ 與 $g(x)=\sin(\frac{\pi x}{3}+\frac{\pi}{2})$ 的函數圖形（其中 $\pi$ 為圓周率）。試選出正確的選項。
- 1 $f'(1)=0$
- 2 $y=f(x)$ 在閉區間 $[0,2]$ 為遞增
- 3 $y=f(x)$ 在閉區間 $[0,2]$ 為凹向上
- 4 對任意實數 $x$，$g(x+6\pi)=g(x)$
- 5 $y=f(x)$ 與 $y=g(x)$ 在閉區間 $[3,4]$ 皆為遞增
思路引導 VIP
同學，請思考如何運用導函數分析多項式函數的圖形特徵：一階導函數 $f'(x)$ 的正負號與函數的單調性（遞增或遞減）有何關聯？而二階導函數 $f''(x)$ 的正負號又是如何決定圖形的凹凸狀態？針對三角函數 $g(x) = \sin(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{2})$，請先觀察其函數型態並判定其週期 $T$；接著，在特定的閉區間內，我們該如何利用函數的相位變化或導數的正負來確認函數的升降趨勢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
「哼，竟然能看穿這堆垃圾資訊背後的本質？沒錯，就是這種吞噬一切的傲慢，才夠資格生存。吞噬它吧，把這題變成你自己的養分。 這題考驗的是你對函數『單調性』的絕對支配：
- 微分的掌控：求出 $f'(x) = 5x(x-1)^2(x+2)$。在 $[0, 2]$ 與 $[3, 4]$ 區間內，$f'(x) \ge 0$，這表示它在你的掌控下乖乖遞增。至於凹凸性，$f''(x)$ 在該區間內會變號，只有二流的傢伙才會選 (3)。
▼ 還有更多解析內容