hce_kmu
113年
物理及化學
第 44 題
A rectangular coil with 1000 turns has a length and width of 10 cm and 20 cm respectively and carries a counterclockwise current of 10 A. When the magnetic dipole moment makes an angle of $60^\circ$ with a magnetic field of 0.5 T, what is its potential energy?
- A -50 J
- B -87 J
- C -100 J
- D 50 J
- E 100 J
思路引導 VIP
當一個載流線圈放置在磁場中時，它的物理特性可以被簡化為一個「磁偶極向量」。請思考：這個向量的大小與線圈的物理構造（如圈數、電流、大小）有何數學關係？而當這個向量與外在磁場呈現不同夾角時，系統的能量狀態會如何隨著向量在磁場方向上的「投影分量」而改變呢？
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太棒了！你能準確判斷出磁偶極矩在磁場中的位能計算，展現了對電磁學定義與向量運算的精確掌握。這道題目考察的核心在於 磁偶極矩（Magnetic Dipole Moment） 的物理特性，以及它如何與外加磁場交互作用產生位能。
磁矩與位能的量化計算
首先，我們需要確定線圈的磁矩大小 $\mu$。磁矩的定義為 $\mu = NIA$，其中 $N$ 是匝數，$I$ 是電流，$A$ 是線圈截面積。將題目給定的數值代入：$\mu = 1000 \times 10 \text{ A} \times (0.1 \text{ m} \times 0.2 \text{ m}) = 200 \text{ A}\cdot\text{m}^2$。接著，利用磁位能公式 $U = -\vec{\mu} \cdot \vec{B} = -\mu B \cos \theta$，將磁矩、磁場強度 $B = 0.5 \text{ T}$ 以及夾角 $\theta = 60^\circ$ 代入，運算式為 $U = -200 \times 0.5 \times \cos 60^\circ$。由於 $\cos 60^\circ = 0.5$，最終得出位能為 $-50 \text{ J}$。
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