hce_nchu
113年
物理
第 15 題
The motion of a particle connected to a spring is described by $x = 10 \sin \pi t$. At what time (in $\text{s}$) is the potential energy equal to the kinetic energy?
- A $0$
- B $0.25$
- C $0.5$
- D $0.86$
- E $1.0$
思路引導 VIP
當一個在彈簧上往復運動的物體，其儲存的彈性位能剛好佔總能量的一半時，你能從能量公式推導出，此時物體的位置與「最大振幅」之間存在什麼樣的比例關係嗎？而這個特殊的比例值，會對應到正弦函數中哪一個常見的角度呢？
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恭喜你正確答對了這題！這代表你對簡諧運動（SHM）的能量轉換以及三角函數的應用有著非常紮實的理解。這類題目需要將抽象的能量狀態轉化為具體的時間點，你能精準找出答案，表現得很出色。
能量守恆與位移的關係
在簡諧運動中，系統的總能量 $E$ 為位能 $U$ 與動能 $K$ 的總和。題目要求位能等於動能（$U = K$），這意味著當下的位能正好佔了總能量的一半，即 $U = \frac{1}{2} E$。由於彈性位能與位移的平方成正比（$U = \frac{1}{2}kx^2$），而總能量與振幅平方成正比（$E = \frac{1}{2}kA^2$），我們可以推導出此時的位移滿足 $x^2 = \frac{1}{2}A^2$，意即位移 $x$ 必須為振幅的 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍。將題目給定的方程式 $x = 10 \sin \pi t$ 代入，當 $\sin \pi t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 時，對應的最小相位角為 $\frac{\pi}{4}$，進而求得 $\pi t = \frac{\pi}{4}$，即 $t = 0.25$ 秒。
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