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110年
物理
第 19 題
一物體在光滑水平面上作簡諧運動，當其位移為振幅一半時，速率為 $v$，則此物體通過位移為零之平衡點時，其速率為何？
- A 2 v
- B $\frac{2\sqrt{3}}{3} v$
- C v
- D $\frac{\sqrt{3}}{2} v$
思路引導 VIP
在一個能量守恆的系統中，當物體從平衡點向外移動到振幅處時，它的動能與彈性位能是如何互相轉換的？如果你知道在某個特定位置時位能佔了總能量的多少比例，你有辦法推算出剩下的動能與此時速率的關係嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地掌握了簡諧運動（SHM）中能量守恆與運動狀態變化的核心觀念！這道題目能順利答對，代表你對於物體在不同位置下的速率關係有著非常紮實的理解。
能量守恆與速率轉換
在光滑水平面上的簡諧運動中，系統總機械能保持不變。當位移處於振幅的一半時（$x = \frac{1}{2}R$），根據公式 $v = \omega \sqrt{R^2 - x^2}$，我們可以得知此時速率為 $v = \omega \sqrt{R^2 - (\frac{1}{2}R)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \omega R$。而物體通過平衡點時，位移為零，此時速率達到最大值 $v_{max} = \omega R$。將兩者關係進行代換，即可求得平衡點速率為 $\frac{2}{\sqrt{3}}v$，經由分母有理化後得到 $\frac{2\sqrt{3}}{3}v$。
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