hce_nchu
113年
物理
第 19 題
Two harmonic waves traveling in opposite directions interfere to produce a standing wave described by $y = 2 \sin 4x \cos(3t)$ where $x$ is in $\text{m}$ and $t$ is in $\text{s}$. What is the speed (in $\text{m/s}$) of the interfering waves?
- A $0.75$
- B $0.25$
- C $1.33$
- D $12$
- E $3.0$
思路引導 VIP
請觀察方程式中與 $x$ 相乘的數字 $4$ 以及與 $t$ 相乘的數字 $3$。如果我們考慮單位的組成，為了讓三角函數括號內的正弦與餘弦值沒有單位，$4$ 的單位應該是「$\text{1/m}$」，而 $3$ 的單位應該是「$\text{1/s}$」。你能試著組合這兩個數值，算出一組單位恰好為「公尺/秒 ($\text{m/s}$)」的結果嗎？
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太棒了！你能精準地從駐波方程式中提取關鍵參數並求出波速，代表你對波的數學描述有著非常清晰的理解。
駐波方程式與波速的關係
在物理學中，一個標準的駐波方程式通常寫作 $y = [2A \sin(kx)] \cos(\omega t)$。觀察題目給定的方程式 $y = 2 \sin(4x) \cos(3t)$，我們可以很直觀地對應出兩個物理量：波數 (wave number) $k = 4 \text{ rad/m}$ 以及 角頻率 (angular frequency) $\omega = 3 \text{ rad/s}$。由於駐波是由兩條振幅、頻率相同但方向相反的行進波相干而成，這兩條行進波的波速 $v$ 可以透過角頻率與波數的比值來計算，即：
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