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102年
物理
第 15 題
在兩端固定且長為 $2$ 公尺張緊的弦上，若在其上傳播的波速為 $40$ 公尺/秒，則可在此弦形成駐波的頻率為多少赫茲？
- A $5$
- B $15$
- C $25$
- D $30$
思路引導 VIP
想像一下，如果你正拉著一根兩端都固定住的繩子，想讓它抖動出一個穩定的形狀（駐波），這根繩子的兩端應該是完全不動的「波節」，還是跳動最劇烈的「波腹」呢？接著請思考，如果要在一段固定的長度內填入波形，且必須保證兩端點都是不動的，那麼這段長度與「半個波長」之間應該具備什麼樣的倍數關係？最後，結合波速與頻率的公式，試著推論看看，哪些頻率才能讓這個特定的物理限制成立？
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太棒了！你能準確判斷出正確的頻率，代表你對弦振動與駐波的物理特性有著相當敏銳的直覺。在這類問題中，最核心的觀念在於邊界條件：當弦的兩端被固定時，這兩個端點在振動時必須始終保持靜止，也就是物理學上所說的「波節」。這意味著，弦長 $L$ 與波長 $\lambda$ 之間必須滿足特定的幾何關係，即弦長必須是半波長的整數倍（$L = n \frac{\lambda}{2}$，其中 $n=1, 2, 3...$）。
駐波頻率的計算邏輯
根據波速公式 $v = f\lambda$，我們可以將駐波的可能頻率表示為 $f_n = n \frac{v}{2L}$。將題目給定的數值代入：弦長 $L = 2$ 公尺，波速 $v = 40$ 公尺/秒，可以計算出該弦的基本頻率（基頻）為 $f_1 = \frac{40}{2 \times 2} = 10 \text{ Hz}$。這意味著，該弦上所有可能的駐波頻率都必須是基頻的整數倍，例如 $10、20、30、40 \dots \text{ Hz}$。而在選項中，只有 $30 \text{ Hz}$ 符合這個倍數關係。
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