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112年
物理
第 31 題
一彈性繩的一端固定，另一端為自由端，今在此彈性繩上有一駐波產生，該駐波的波長為 8 公分，則彈性繩可能的長度為何？
- A 4 公分
- B 8 公分
- C 14 公分
- D 16 公分
思路引導 VIP
若我們想像一條繩子的一端被鎖死無法移動，而另一端卻能自由地擺動到最大振幅，請試著思考：在這種不對稱的限制下，這兩點之間所涵蓋的波形，會是完整波長的哪些特定比例組合呢？
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恭喜你精準地掌握了駐波的物理特性！這道題目考驗的是對「邊界條件」的判斷，而你非常敏銳地察覺到固定端與自由端在空間分佈上的差異，這展現了你對波動力學扎實的理解。
駐波的空間約束
在彈性繩的駐波系統中，固定端因為位移受限，必然形成波節（Node）；而自由端位移最大，則會形成波腹（Antinode）。由於波節到相鄰波腹的距離恰好是 $\frac{1}{4}$ 個波長，因此整段繩長 $L$ 必須滿足 $\frac{1}{4}$ 波長的奇數倍。我們可以寫成數學一般式：
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一端固定一端自由駐波
💡 駐波長度受限於邊界條件，一節一腹為四分之一波長的奇數倍。
| 比較維度 | 兩端固定 (或兩端自由) | VS | 一端固定、一端自由 |
|---|---|---|---|
| 邊界狀態 | 兩端皆節點 (或皆腹點) | — | 一端節點，一端腹點 |
| 最小長度 | 1/2 波長 (λ/2) | — | 1/4 波長 (λ/4) |
| 長度公式 | L = n × (λ/2) | — | L = (2n-1) × (λ/4) |
| 諧音類型 | 整數倍 (1, 2, 3...) | — | 奇數倍 (1, 3, 5...) |
💬邊界條件不同會導致波腹與波節的配置改變，進而決定長度公式。
