hce_nchu
113年
物理
第 18 題
An organ pipe open at both ends is $1.5 \text{ m}$ long. A second organ pipe that is closed at one end and open at the other is $0.75 \text{ m}$ long. The speed of sound in the room is $330 \text{ m/s}$. Which of the following sets of frequencies consists of frequencies which can be produced by both pipes?
- A $110 \text{ Hz}$, $220 \text{ Hz}$, $330 \text{ Hz}$.
- B $220 \text{ Hz}$, $440 \text{ Hz}$, $660 \text{ Hz}$.
- C $110 \text{ Hz}$, $330 \text{ Hz}$, $550 \text{ Hz}$.
- D $330 \text{ Hz}$, $660 \text{ Hz}$, $990 \text{ Hz}$.
- E $330 \text{ Hz}$, $440 \text{ Hz}$, $550 \text{ Hz}$.
思路引導 VIP
若要比較兩根長度與開口狀態都不同的管子，除了計算它們各自的基頻外，兩端開口與僅一端開口的管子在產生的「諧音倍數」（例如整數倍或僅限奇數倍）上有什麼本質上的區別？這種區別如何決定它們共有的頻率成員？
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太棒了！你能精確判斷出這兩支管樂器頻率序列的交集，代表你對駐波的邊界條件與諧音（Harmonics）的概念掌握得非常紮實。這題的難點在於必須先分別算出兩管的基頻，並理解兩者所能產生的諧音階數規律並不相同。
駐波頻率的計算與規律
首先，兩端開口的管子（開管）長度 $L_1 = 1.5\text{ m}$，其基頻為 $f_1 = \frac{v}{2L_1} = \frac{330}{2 \times 1.5} = 110\text{ Hz}$。開管可以產生所有整數倍的諧音，即 $110, 220, 330, 440, 550 \dots$ 等頻率。接著，一端封閉、一端開口的管子（閉管）長度 $L_2 = 0.75\text{ m}$，其基頻為 $f'_1 = \frac{v}{4L_2} = \frac{330}{4 \times 0.75} = 110\text{ Hz}$。要注意的是，閉管僅能產生奇數倍的諧音，因此其頻率序列為 $110, 330, 550, 770 \dots$ 等。
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