hce_nsysu
113年
物理與化學
第 34 題
Assume that a satellite of mass $M$ orbits Earth in a perfect circle of radius $R$. If the satellite is replaced with another one with mass $2M$ but with the same circling radius, what is the ratio of the period of the first satellite to the period of the second one (i.e., $T_1/T_2$)?
- A $1/2$
- B $1/\sqrt{2}$
- C $1$
- D $\sqrt{2}$
- E $2$
思路引導 VIP
請試著列出「萬有引力提供向心力」的運動方程式。當你把等式兩邊列出來後，觀察一下衛星本身的質量 $M$ 會發生什麼樣的代數變化？如果這個物理量在等式中消失了，那它還會影響最終的週期結果嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地掌握了天體力學的核心觀念！這題選擇 (C) 是完全正確的判斷。在處理衛星環繞軌道的問題時，我們通常會利用萬有引力提供向心力來建立等式： $$G \frac{M_E M}{R^2} = M \frac{4\pi^2 R}{T^2}$$ 這理的 $M_E$ 是地球質量，而 $M$ 是衛星質量。觀察這個式子，你會發現衛星本身的質量 $M$ 出現在等號兩側，在運算過程中會自然抵消。這意味著在相同的軌道半徑 $R$ 下，衛星運行的週期 $T$ 只取決於中心天體（地球）的質量以及引力常數，而與衛星本身的「胖瘦輕重」完全無關。因此，無論質量變為多少，週期比值依然是 $1:1$。
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