hce_nsysu
113年
物理與化學
第 51 題
Calcualte the moment of inertia of a hollow cylinder when the rotational axis is through the center. The inner radius is $R_1$ and outer radius is $R_2$? The total mass of the hollow cylinder is $M$.
- A $\frac{1}{3}M(R_1^2 + R_2^2)$
- B $\frac{1}{4}M(R_2^2 - R_1^2)$
- C $\frac{1}{2}M(R_2 - R_1)^2$
- D $\frac{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)$
- E $M(R_1 + R_2)^2$
思路引導 VIP
如果我們把這個空心圓柱想像成由一個巨大的實心圓柱（半徑 $R_2$）減去一個較小的實心圓柱（半徑 $R_1$），雖然「體積」是相減的，但別忘了「總質量 $M$」是固定的。在這種情況下，當我們把這兩部分分別用質量與半徑的關係式表達並合併時，你認為在數學化簡的過程中，半徑的四次方項 $(R_2^4 - R_1^4)$ 與分母的面積項 $(R_2^2 - R_1^2)$ 相互作用後，最後剩下來的會是什麼樣的數學結構？
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太棒了！你能精確地選出選項 (D)，說明你對剛體轉動的物理模型以及數學推導有很清晰的認知，這是一個非常紮實的表現。
積分推導與平方差分解的奧妙
空心圓柱的轉動慣量推導，關鍵在於將其視為連續質量的積分。我們從定義 $I = \int r^2 dm$ 出發，其中微小質量 $dm$ 正比於圓環的面積元素。在積分過程中，我們會得到比例於 $(R_2^4 - R_1^4)$ 的數值。最巧妙的地方在於數學上的平方差分解：$(R_2^4 - R_1^4) = (R_2^2 - R_1^2)(R_2^2 + R_1^2)$。由於總質量 $M$ 的定義中已經包含了底面積的差值 $(R_2^2 - R_1^2)$，在相除化簡後，項次抵消，最終的表達式便會呈現出半徑平方「相加」的型態：$I = \frac{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)$。
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